Mỗi số thực (real number) có một biểu thị thập phân tương ứng (có thể là vô hạn). Có thể được biểu thị theo công thức sau đây:

x = s i g n ⁡ ( x ) ∑ i ∈ Z a i 10 i {\displaystyle x=\mathop {\rm {sign}} (x)\sum _{i\in \mathbb {Z} }a_{i}\,10^{i}}

ghi chú:

• sign() là hàm signum,
• ai ∈ { 0,1,...,9 } đối với tất cả các giá trị i ∈ Z, là con số trong phần thập phân, bằng 0 đối với tất cả các giá trị i lớn hơn một số nào đó (và số đó là lôgarít tự nhiên của |x|).

Tổng này tăng trưởng trong khi i được giảm xuống, và có thể nó là những dãy số của các con số lớn hơn không ai, lặp lại theo tiến trình vô hạn.

Số hữu tỷ (rational number) (ví dụ: p q {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {p}{q}}\end{matrix}}} ) với mẫu số là các thừa số nguyên tố (prime factor), ngoài số 2 và 5 (khi đã được giảm xuống dạng đơn giản nhất), có một chuỗi dãy số thập phân lặp lại đặc thù.

Xem xét các số hữu tỷ có mẫu số là các thừa số nguyên tố, như 2 và 5 - có thể biểu thị bằng p 2 a 5 b {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {p}{2^{a}5^{b}}}\end{matrix}}} . Những số này cho chúng ta một dãy số thập phân hữu hạn. Chẳng hạn:

1 1 = 1 {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{1}}=1\end{matrix}}} 1 2 = 0 , 5 {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}=0,5\end{matrix}}} 3 5 = 0 , 6 {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {3}{5}}=0,6\end{matrix}}} 3 25 = 0 , 12 {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {3}{25}}=0,12\end{matrix}}} 1306 1250 = 1 , 0448 {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1306}{1250}}=1,0448\end{matrix}}}

Có những số thực không có một biểu đạt bằng một dãy số thập phân đặc thù, vì chúng còn có thể được biểu đạt bằng một biểu thức khác, gồm có những con số 9 tái diễn, chẳng hạn 1 = 0 , 99999... {\displaystyle {\begin{matrix}1=0,99999...\end{matrix}}} hoặc 1 2 = 0 , 499999... {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}=0,499999...\end{matrix}}} vân vân.

Những số này gọi là số vô tỷ (irrational number). Chúng có thể có một biểu thị thập phân đặc thù hữu hạn, nhưng cũng đồng thời mang đặc tính là những số có phần biểu thị thập phân vừa hữu hạn, vừa vô hạn.

Nói chung, phần biểu thị thập phân trở nên đặc thù, nếu chúng ta không kể đến những phần biểu thị kết thúc bằng những con số 9 tái diễn.

Đương nhiên, cùng một hệ tam phân pháp (trichotomy) được áp dụng cho các gốc hệ đếm khác của các hệ đếm dùng vị trí định lượng (positional numeral system):

• Biểu thị hữu hạn: số hữu tỷ với mẫu số chia hết cho một số nk nào đó.
• Biểu thị tái diễn: một trường hợp khác của số hữu tỷ.
• Biểu thị vô hạn, bất tái diễn: số vô tỷ.

Một sao bản của hiện trạng này cũng được thấy áp dụng trong các hệ đếm vô tỷ, chẳng hạn như thể dạng golden mean base (???)